Variations et signe des fonctions de la forme x ⟼ ax²

Soit \(a\) un nombre réel non nul et \(f\) la fonction définie, pour tout réel \(x\), par \(f(x)=ax^2\).

Propriété

• Si \(a>0\), alors la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty~;0[\) et strictement croissante sur \(]0~;+\infty[\). Son minimum est \(0\), il est atteint en \(x=0\).
  
• Si \(a<0\), alors la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty~;0[\) et strictement décroissante sur \(]0~;+\infty[\). Son maximum est \(0\), il est atteint en \(x=0\).
  

Exemples

La figure suivante montre l'allure des courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) définies pour tout réel \(x\) par \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=-0{,}5x^2\). On constate les variations explicitées dans la propriété précédente. 

Propriété

Soit \(a\) un nombre réel non nul. La fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=ax^2\) a pour unique racine \(0\).

• Si \(a>0\), alors \(f\) est strictement positive sur \(]-\infty~;0[\) et sur \(]0~;+\infty[\).
• Si \(a<0\), alors \(f\) est strictement négative sur \(]-\infty~;0[\) et sur \(]0~;+\infty[\).